New PDF release: (0,1)-matrices with minimal permanents

By Minc H.

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1) où a est une fonction continue à valeurs réelles ou complexes de la variable réelle t. Comme a est continue sur R, elle admet une primitive A. La fonction f définie par f (t) = e−A(t) est dérivable, et vérifie pour tout t ∈ R : f (t) = −A (t)e−A(t) = −a(t) f (t). f est donc solution de l’équation (1). Réciproquement, soit y une solution quelconque de cette équation ; posons pour t ∈ R : y(t) = z(t)e−A(t) . En dérivant, on obtient : y (t) = z (t)e−A(t) − A (t) z(t)e−A(t) , d’où y (t) + a(t) y(t) = z (t)e−A(t) .

Exemple : Résoudre l’équation différentielle : y − ty = 2t (1). L’équation sans second membre associée s’écrit : y − ty = 0 ; sa solution générale t2 est y = C e 2 . Une solution évidente de l’équation (1) est : y = −2. La solution générale est donc : t2 y = −2 + C e 2 54 Équations différentielles linéaires 3 COURS On peut aussi utiliser le principe de superposition : si y1 est une solution de l’équation y − a(t)y = b1 (t) et y2 une solution de l’équation y − a(t)y = b1 (t), alors y1 + y2 est solution de l’équation y − a(t)y = b1 (t) + b2 (t).

X sh x ch y sh x ex 2 x O sh et (ch ) (x) = sh x Il en résulte les tableaux de variation suivants : −∞ −∞ + 0 1 0 + +∞ x ch x +∞ ch x −∞ +∞ − 0 0 + +∞ +∞ 1 ex ex ) = 0 et lim (sh x − ) = 0. Les courbes d’équations x→+∞ x→+∞ 2 x 2 e y = ch x, y = sh x et y = sont asymptotes en +∞, leurs positions relatives étant 2 données par les inégalités : Remarque : lim (ch x − Doc. 7 Cosinus et sinus hyperboliques. 2 • Trigonométrie hyperbolique On vérifie facilement que pour tout x ∈ R : ch x + sh x = ex et ch x − sh x = e−x D’où : ∀x ∈ R ch 2 x − sh 2 x = 1 En posant : Y shx X = ch x M et Y = sh x, on a 1 chx X Doc.

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(0,1)-matrices with minimal permanents by Minc H.


by Mark
4.2

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